Ferramenta de cálculo

Calculadora de Equação do 2º Grau

Informe a, b e c em ax² + bx + c = 0 e obtenha o discriminante Δ e as raízes (reais ou complexas).

Calculadora

Deve ser diferente de zero.

Informe os coeficientes a, b e c (com a diferente de zero).

Como funciona

Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. O discriminante Δ = b² − 4ac indica se há duas raízes reais diferentes, uma raiz real dupla (Δ = 0) ou um par de raízes complexas conjugadas (Δ < 0).

Discriminante e fórmula de Bhaskara

Δ=b2−4acx=−b±Δ2a\Delta = b^{2} - 4ac \qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Δ = discriminante; a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0. Quando Δ < 0, √Δ é imaginário e as duas raízes são complexas conjugadas.

Esta calculadora valida os coeficientes, calcula Δ e exibe as raízes em notação legível (reais ou na forma a ± bi). Os cálculos usam uma forma estável quando há duas raízes reais distintas, reduzindo perda de precisão por cancelamento.

Exemplos práticos

Duas raízes reais (Δ > 0)

Equação x² − 5x + 6 = 0.

Δ=25−24=1⇒x1=2,  x2=3\Delta = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x_{1} = 2,\; x_{2} = 3

Raiz dupla (Δ = 0)

Equação x² − 4x + 4 = 0.

Δ=16−16=0⇒x=2 (dupla)\Delta = 16 - 16 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ (dupla)}

Raízes complexas (Δ < 0)

Equação x² + x + 1 = 0.

Δ=1−4=−3⇒x=−12±i32\Delta = 1 - 4 = -3 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}

Contextualização

Quando usar esta calculadora

Use quando você já escreveu (ou leu) uma equação na forma ax² + bx + c = 0 e quer Δ, a classificação das raízes e os valores de x sem reescrever tudo à mão. É especialmente útil para conferir exercícios, comparar com o gráfico da parábola e treinar o significado do discriminante.

Como ler o discriminante

O valor de Δ resume a geometria-algebra do problema: parábola corta o eixo x em dois pontos (Δ > 0), tangencia em um ponto (Δ = 0) ou não intersecta o eixo x em pontos reais (Δ < 0). Quando Δ < 0, as soluções ainda existem no conjunto dos números complexos, o que a interface mostra em notação a ± bi.

Coeficientes e sinais

a controla a abertura e o sentido da parábola; b e c deslocam e ajustam a curva. Sinais negativos são comuns em modelagem (por exemplo altura em função do tempo com gravidade). A única restrição operacional aqui é a ≠ 0, para preservar o grau dois.

Limites do modelo

Trata-se da equação algébrica clássica com coeficientes reais digitados. Não cobrimos coeficientes complexos, sistemas de equações nem inequações quadráticas. Em aplicações, fatores como medição, arredondamento e unidades físicas podem exigir interpretação adicional além da solução simbólica.

Leitura crítica

Se o resultado parecer “estranho”, verifique transcrição dos coeficientes (sinais trocados, fator comum não simplificado) e lembre que escala muito grande ou muito pequena pode tornar a leitura numérica menos intuitiva — ainda que o método selecione uma forma mais estável para o caso Δ > 0.

Perguntas frequentes

Se a = 0, o termo em x² desaparece e a expressão deixa de ser uma equação quadrática — vira linear (bx + c = 0) ou degenerada. A ferramenta exige a ≠ 0 para manter o significado de “2º grau”.

Δ > 0: duas raízes reais distintas. Δ = 0: uma raiz real de multiplicidade dois (raiz dupla). Δ < 0: não há raízes reais; existem duas raízes complexas conjugadas.

Sim. Quando Δ < 0, mostramos a parte real e a parte imaginária de cada raiz, no formato usual em português (por exemplo −½ + i√3/2 e −½ − i√3/2).

Sim, desde que sejam números finitos. b e c podem ser zero ou negativos; apenas a precisa ser diferente de zero. Use vírgula ou ponto como separador decimal conforme o teclado.

Não. Use para conferência, estudo e intuição numérica. Em provas, costuma ser exigido o desenvolvimento passo a passo e raciocínio, não só o valor final.

Quando Δ > 0 e |b| é grande em relação a |√Δ|, a fórmula clássica pode perder precisão em ponto flutuante. Usamos uma reorganização numérica equivalente que reduz esse cancelamento ao calcular as duas raízes reais.

Recursos complementares

Normas, artigos e materiais para aprofundar o assunto.

  1. [1]

    Equação quadrática — Wikipédia— Wikipédia

    Definição, discriminante, fórmula resolutiva e discussão das três naturezas das raízes.

  2. [2]

    Número complexo — Wikipédia— Wikipédia

    Conceito de parte real e imaginária, útil quando Δ < 0 e as raízes deixam de ser reais.

  3. [3]

    Função quadrática — Toda Matéria— Toda Matéria

    Parábola, coeficientes e ligação entre gráfico e raízes no contexto escolar.

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