Quando é possível multiplicar duas matrizes?

Para A × B, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B. Por exemplo, uma matriz 2 × 3 pode multiplicar uma matriz 3 × 4, gerando uma matriz 2 × 4.

Como inserir ou colar os valores das matrizes?

Digite uma linha da matriz por linha da caixa de texto e separe os elementos por espaços ou tabulações. Também é possível separar linhas por ponto e vírgula: 1 2; 3 4 representa uma matriz 2 × 2. Não use colchetes ou parênteses na entrada.

Posso usar números negativos e decimais?

Sim. Use vírgula ou ponto decimal, como -1,5 ou -1.5, sem separador de milhares. A vírgula não separa elementos: 1,2 é um único número decimal. São aceitos números reais e notação científica, como 2e3; frações como 1/2 e números complexos não são aceitos.

A × B é igual a B × A?

Em geral, não. O produto matricial não é comutativo. A inversão da ordem pode mudar os valores, as dimensões do resultado ou tornar o produto impossível.

É necessário que as matrizes sejam quadradas?

Não. Matrizes retangulares, vetores linha e vetores coluna podem ser multiplicados quando as dimensões internas são compatíveis. Cada matriz pode ter até 20 linhas e 20 colunas nesta calculadora.

Como calcular cada elemento da matriz resultado?

Multiplique os elementos de uma linha de A pelos elementos correspondentes de uma coluna de B e some os produtos. Repita para cada combinação de linha e coluna. O resultado mostra o desenvolvimento do elemento da linha 1, coluna 1.

O resultado decimal é exato?

Os valores exibidos têm até 12 algarismos significativos. Algumas operações com decimais podem sofrer pequenas aproximações numéricas, mesmo quando a exibição parece exata. Resultados que excedem o intervalo numérico permitido são rejeitados.

Ferramenta de cálculo

Calculadora de Multiplicação de Matrizes

Calcule A × B com matrizes quadradas ou retangulares e confira as dimensões e o desenvolvimento do primeiro elemento.

Calculadora

Como funciona

O produto A × B existe quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se A tem dimensão m × n e B tem dimensão n × p, o resultado C tem dimensão m × p.

Produto de uma linha por uma coluna

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

Cada elemento cij é a soma dos produtos entre os elementos da linha i de A e os elementos correspondentes da coluna j de B. O índice k percorre as n posições compartilhadas.

A ordem dos fatores importa: em geral, A × B e B × A são diferentes, e um deles pode nem existir. O produto matricial também difere da multiplicação elemento a elemento.

Exemplos práticos

Duas matrizes 2 × 2

A tem linhas (1, 2) e (3, 4); B tem linhas (5, 6) e (7, 8). O primeiro elemento é 1 × 5 + 2 × 7 = 19.

\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}

Produto retangular 2 × 3 por 3 × 1

A tem linhas (1, 2, 3) e (4, 5, 6); B é a coluna (2, 1, 0). O resultado é uma matriz 2 × 1.

\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\13\end{pmatrix}

Decimais e matriz identidade

Multiplicar uma matriz pela identidade de ordem compatível preserva seus elementos, inclusive negativos e decimais.

\begin{pmatrix}1{,}5&-2\\0&3{,}25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5&-2\\0&3{,}25\end{pmatrix}

Contextualização

Como multiplicar matrizes

A multiplicação de matrizes combina uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda. Os elementos correspondentes são multiplicados e os produtos são somados. Essa soma ocupa a posição da linha e da coluna escolhidas na matriz resultado.

A condição para A × B é: colunas de A = linhas de B. Uma matriz A de dimensão 2 × 3 e uma matriz B de dimensão 3 × 4 geram um produto de dimensão 2 × 4. As dimensões externas determinam o tamanho do resultado; as internas precisam coincidir.

Como informar A e B

Em cada caixa, escreva uma linha da matriz por linha de texto. Separe os valores por espaços ou tabulações, inclusive ao colar dados de uma planilha. Também é possível separar linhas por ponto e vírgula.

Por exemplo, a entrada abaixo representa uma matriz com duas linhas e duas colunas:

1 2
3 4

A mesma matriz pode ser escrita como 1 2; 3 4. Use 1,5 ou 1.5 para decimais, sem separadores de milhares. A vírgula é um separador decimal, não um separador de elementos. Não inclua colchetes, parênteses, expressões ou frações como 1/2; escreva 0,5 nesse caso.

Cada linha deve ter o mesmo número de elementos. Linhas vazias internas são rejeitadas para evitar a alteração involuntária das dimensões.

Exemplo de multiplicação 2 × 2

Considere A com linhas (1, 2) e (3, 4), e B com linhas (5, 6) e (7, 8). O cálculo dos quatro elementos é:

Linha 1, coluna 1: 1 × 5 + 2 × 7 = 19.
Linha 1, coluna 2: 1 × 6 + 2 × 8 = 22.
Linha 2, coluna 1: 3 × 5 + 4 × 7 = 43.
Linha 2, coluna 2: 3 × 6 + 4 × 8 = 50.

Assim, a matriz produto tem linhas (19, 22) e (43, 50). A tabela do resultado preserva essas posições, identificando linhas e colunas.

Matrizes retangulares e vetores

Uma matriz 2 × 3 pode multiplicar um vetor coluna 3 × 1. Se A tem linhas (1, 2, 3) e (4, 5, 6), e B tem a coluna (2, 1, 0), o produto tem dimensão 2 × 1, com valores 4 e 13.

Um vetor linha 1 × 3 multiplicado por um vetor coluna 3 × 1 produz uma matriz 1 × 1. Na ordem inversa, o produto tem dimensão 3 × 3. Isso mostra por que a ordem dos fatores muda a interpretação da operação.

Por que a ordem importa

Em geral, A × B ≠ B × A. Mesmo quando os dois produtos existem, os resultados podem ser diferentes. No exemplo 2 × 2 acima, B × A tem linhas (23, 34) e (31, 46).

O produto matricial não é a multiplicação elemento a elemento. Nessa outra operação, chamada produto de Hadamard, cada posição é multiplicada pela mesma posição da outra matriz, exigindo dimensões iguais.

Aplicações e limites

Produtos matriciais aparecem em transformações geométricas, composição de aplicações lineares e modelos de produção. Por exemplo, uma linha de quantidades de produtos multiplicada por uma coluna de preços unitários retorna o valor total, desde que a ordem dos produtos seja a mesma nos dois conjuntos.

A matriz identidade preserva uma matriz quando multiplicada com dimensões compatíveis. Esse é um teste útil para conferir cálculos.

Esta calculadora aceita matrizes reais com até 20 linhas e 20 colunas por matriz, incluindo zero, negativos, decimais e notação científica. Não faz operações simbólicas nem aceita números complexos. A exibição usa até 12 algarismos significativos, e os cálculos podem ter pequenas aproximações numéricas. Operações com resultados fora do intervalo numérico permitido são rejeitadas.

Perguntas frequentes

: Para A × B, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B. Por exemplo, uma matriz 2 × 3 pode multiplicar uma matriz 3 × 4, gerando uma matriz 2 × 4.
: Digite uma linha da matriz por linha da caixa de texto e separe os elementos por espaços ou tabulações. Também é possível separar linhas por ponto e vírgula: 1 2; 3 4 representa uma matriz 2 × 2. Não use colchetes ou parênteses na entrada.
: Sim. Use vírgula ou ponto decimal, como -1,5 ou -1.5, sem separador de milhares. A vírgula não separa elementos: 1,2 é um único número decimal. São aceitos números reais e notação científica, como 2e3; frações como 1/2 e números complexos não são aceitos.
: Em geral, não. O produto matricial não é comutativo. A inversão da ordem pode mudar os valores, as dimensões do resultado ou tornar o produto impossível.
: Não. Matrizes retangulares, vetores linha e vetores coluna podem ser multiplicados quando as dimensões internas são compatíveis. Cada matriz pode ter até 20 linhas e 20 colunas nesta calculadora.
: Multiplique os elementos de uma linha de A pelos elementos correspondentes de uma coluna de B e some os produtos. Repita para cada combinação de linha e coluna. O resultado mostra o desenvolvimento do elemento da linha 1, coluna 1.
: Os valores exibidos têm até 12 algarismos significativos. Algumas operações com decimais podem sofrer pequenas aproximações numéricas, mesmo quando a exibição parece exata. Resultados que excedem o intervalo numérico permitido são rejeitados.

Recursos complementares

Normas, artigos e materiais para aprofundar o assunto.

[1]
Produto de matrizes— Wikipédia
Definição do produto linha por coluna, compatibilidade de dimensões e propriedades da operação.
[2]
Matriz identidade— Wikipédia
Elemento neutro do produto matricial e sua relação com matrizes de ordem compatível.

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