Ferramenta de cálculo

Calculadora de Progressão Aritmética (PA)

Informe três entre primeiro termo, razão, número de termos e último termo — obtenha a incógnita, a soma Sₙ e a sequência.

Calculadora

Valor que inicia a sequência.

Constante somada a cada passo (pode ser negativa).

Quantidade de termos ou posição desejada (inteiro ≥ 1).

Termo na posição n (termo geral).

Preencha exatamente três dos quatro campos. O campo vazio será a incógnita calculada.

Como funciona

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando uma constante r (razão) ao anterior. O primeiro termo é a₁; na posição n, o termo geral vale aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Termo geral e soma dos n primeiros termos

an=a1+(n−1) rSn=n (a1+an)2a_n = a_1 + (n - 1)\,r \qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

a₁ = primeiro termo; r = razão (diferença constante entre termos consecutivos); n = quantidade de termos (inteiro ≥ 1); aₙ = termo na posição n; Sₙ = soma dos n primeiros termos.

Com três dessas quatro grandezas conhecidas, a quarta fica determinada algebricamente, desde que n seja inteiro positivo e os valores sejam coerentes com uma PA (por exemplo, razão zero exige a₁ = aₙ).

Exemplos práticos

Descobrir o último termo

PA com a₁ = 2, r = 3 e n = 5. Qual o quinto termo e a soma dos cinco primeiros?

a5=2+4×3=14S5=5×(2+14)2=40a_5 = 2 + 4 \times 3 = 14 \qquad S_5 = \dfrac{5 \times (2 + 14)}{2} = 40

Descobrir a razão

Sequência que começa em 10, tem 8 termos e termina em 31. Qual a razão?

r=a8−a18−1=31−107=3r = \dfrac{a_8 - a_1}{8 - 1} = \dfrac{31 - 10}{7} = 3

Descobrir o número de termos

PA com a₁ = 5, r = 2 e aₙ = 25. Quantos termos existem até esse valor?

n=an−a1r+1=25−52+1=11n = \dfrac{a_n - a_1}{r} + 1 = \dfrac{25 - 5}{2} + 1 = 11

Contextualização

Como usar na prática

Informe três dos quatro dados da PA — primeiro termo (a₁), razão (r), número de termos (n) ou último termo (aₙ) — e deixe um campo vazio. Esse campo vazio é a incógnita que será calculada. O resultado traz também a soma Sₙ e uma listagem dos termos para conferência visual.

Quando três valores bastam

O termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)r liga as quatro grandezas. Com três delas conhecidas e coerentes, a quarta fica definida. Se você preencher os quatro ao mesmo tempo, os números precisariam ser perfeitamente compatíveis; por isso a ferramenta pede exatamente três entradas.

Leitura da soma e da sequência

A soma Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 equivale a “parear” extremos” da sequência: 1º com o último, 2º com o penúltimo, e assim por diante — cada par soma o mesmo valor. A sequência exibida ajuda a ver o passo constante +r (ou −r, se a razão for negativa).

Limites e casos especiais

  • n deve ser inteiro ≥ 1.
  • Razão zero: todos os termos iguais; se a₁ ≠ aₙ, não há PA compatível.
  • n = 1: só existe um termo; a razão não fica determinada só por a₁ e aₙ iguais — informe n ou outra combinação de campos.
  • Razão ≠ 0 e n em branco: n deve resultar inteiro a partir de a₁, r e aₙ; caso contrário, revise o enunciado.

Aplicações comuns

Parcelas com acréscimo fixo, filas com espaçamento regular, depreciação linear simplificada, exercícios de vestibular e ENEM envolvendo soma de termos de PA. Para modelos financeiros com juros compostos ou índices variáveis, outras ferramentas podem ser mais adequadas.

Perguntas frequentes

Quatro grandezas estão ligadas por uma relação principal (termo geral). Três informações independentes e coerentes determinam a quarta sem ambiguidade na maioria dos casos. Informar os quatro ao mesmo tempo pode gerar contradição se os números não forem compatíveis com uma mesma PA.

Sim. Razão negativa indica sequência decrescente (cada passo subtrai |r|). Razão zero significa que todos os termos são iguais a a₁. Nesse último caso, se você deixar n em branco e informar a₁ = aₙ, o número de termos não fica único — é preciso informar n diretamente.

Sim. n representa uma posição na sequência e a quantidade de elementos contados. Valores fracionários não definem uma PA finita com termo final bem definido no sentido usual do ensino médio.

Usa-se Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2, equivalente a somar o primeiro e o último termo, multiplicar por n e dividir por 2. Essa fórmula vale para qualquer PA com n termos consecutivos desde o primeiro.

É a listagem dos termos da PA na ordem, do primeiro até o último (ou dos primeiros termos quando n é grande). Serve para visualizar o padrão +r a cada passo e conferir se o resultado faz sentido no problema.

Isso ocorre, por exemplo, se a razão é zero mas o primeiro e o último termo são diferentes, se n = 1 mas a₁ ≠ aₙ, ou se a combinação a₁, r e aₙ não produz um n inteiro positivo. Revise o enunciado e as unidades usadas.

Recursos complementares

Normas, artigos e materiais para aprofundar o assunto.

  1. [1]

    Progressão aritmética — Wikipédia— Wikipédia

    Definição formal, termo geral, soma dos termos e relação com sequências numéricas.

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