Como calcular raiz cúbica
Reconheça cubos perfeitos, agrupe fatores de três em três e aproxime raízes com conferência pela elevação ao cubo.
Resumo
Pontos principais antes de entrar no passo a passo.
- 1A raiz cúbica de a é o único número real x que satisfaz x³ = a.
- 2Nos inteiros, cubos perfeitos têm raiz cúbica inteira; a fatoração permite reconhecer grupos de três fatores iguais.
- 3O sinal é preservado: a raiz cúbica de um número negativo também é negativa.
- 4Quando a raiz não é conhecida, compare cubos de candidatos e estreite o intervalo antes de arredondar.
Raiz cúbica e sua conferência
Calcular a raiz cúbica desfaz a elevação ao cubo. A pergunta é qual número, multiplicado por si mesmo em três fatores, produz o radicando.
Eleve o resultado ao cubo para conferir. Com resultado exato, a igualdade é exata; após arredondamento, a recomposição fica apenas próxima da entrada. A operação existe para qualquer número real.
Passo a passo
- 1
Identifique o radicando e o sinal
Anote o número dentro do radical. Se ele for negativo, calcule a raiz do módulo e devolva o sinal negativo no resultado. Se for zero, a raiz é zero.
- 2
Procure um cubo perfeito ou fatore
Compare o módulo com valores conhecidos, como 8 = 2³, 27 = 3³ e 125 = 5³. Para um inteiro maior, decomponha-o por divisões sucessivas por números primos e agrupe três fatores iguais; cada trio produz um fator fora da raiz.
- 3
Simplifique ou aproxime o que restar
Multiplique os fatores retirados. Se sobrar um fator dentro do radical, a simplificação continua exata com esse radical. Para uma resposta decimal, encontre dois candidatos cujos cubos fiquem abaixo e acima do radicando, depois refine com décimos, centésimos e mais casas conforme a precisão desejada.
- 4
Confira e arredonde ao final
Calcule o cubo da resposta e compare com a entrada. Para arredondar a duas casas, por exemplo, determine casas adicionais suficientes para decidir o arredondamento; não confunda limite inferior com valor mais próximo. Em volumes, confira também a unidade: a raiz cúbica de m³ fornece m.
Exemplos comentados
Exemplo 1
Aresta de um cubo de 125 m³
Um recipiente tem formato cúbico e volume interno de 125 m³. Qual é a medida de cada aresta interna?
Cada aresta mede 5 m, porque 5 × 5 × 5 = 125. A interpretação pressupõe formato cúbico e medidas internas; não basta conhecer o volume de um recipiente de qualquer formato para achar uma única aresta.
Exemplo 2
Fatoração de 2.744
É preciso encontrar exatamente a raiz cúbica do inteiro 2.744 sem testar muitos candidatos.
As divisões sucessivas dão 2.744 → 1.372 → 686 → 343 → 49 → 7 → 1, usando 2, 2, 2, 7, 7 e 7. Cada trio sai como um fator: 2 × 7 = 14. O cubo de 14 confirma o valor original.
Exemplo 3
Raiz cúbica de um número negativo
Resolva a equação x³ = -216 no conjunto dos números reais.
A solução real é -6. Três fatores negativos produzem resultado negativo; usar 6 daria 216 e não resolveria a equação.
Exemplo 4
Aproximação da raiz cúbica de 20
Obtenha a raiz cúbica de 20 arredondada a duas casas decimais.
Comece entre 2 e 3; 2,7³ = 19,683 e 2,8³ = 21,952 estreitam o intervalo. Depois, 2,71³ = 19,902511 e 2,72³ = 20,123648. Refinando até 2,714 < ∛20 < 2,715, a raiz fica abaixo do ponto de arredondamento 2,715, portanto arredonda para 2,71. A recomposição 2,71³ = 19,902511 é aproximada e não deve ser igualada a 20.
Entenda melhor
Como reconhecer um cubo perfeito
Um cubo perfeito inteiro pode ser escrito como n³ com n inteiro. Exemplos: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1.000. Os correspondentes negativos, como -8 e -27, também são cubos de inteiros.
Na fatoração do módulo de um inteiro diferente de zero, todos os expoentes dos fatores primos precisam ser múltiplos de 3 para a raiz ser inteira. Em 2.744 = 2³ × 7³, isso acontece. Já em 54 = 2 × 3³, sobra o fator 2: ∛54 = 3∛2 é uma forma exata, embora a resposta não seja inteira. Não ter raiz inteira não significa que todo radicando real tenha raiz irracional: ∛0,125 = 0,5 é exata.
Por que agrupar fatores de três em três
A raiz cúbica desfaz três fatores iguais: ∛(p × p × p) = p. Por isso, cada trio de um mesmo fator primo gera uma cópia dele fora do radical. Se houver seis cópias do fator 2, são dois trios: o fator externo será 2 × 2 = 4.
A simplificação é compatível com produtos de números reais: ∛(a × b) = ∛a × ∛b. Ela não se distribui sobre somas. Por exemplo, ∛(1 + 8) = ∛9, enquanto ∛1 + ∛8 = 3; o cubo de 3 é 27, não 9.
Como controlar uma aproximação decimal
A função que eleva um número real ao cubo é crescente. Se o cubo do candidato está abaixo do radicando, a raiz é maior que esse candidato; se está acima, a raiz é menor. Assim, comparar cubos permite estreitar um intervalo sem adivinhar o resultado.
Para obter mais casas, escolha novos candidatos dentro do intervalo e repita a comparação. Um limite por falta não é necessariamente o valor arredondado. Para duas casas decimais, compare também com o ponto médio entre os dois centésimos vizinhos. Use ≈ para aproximações e = para valores exatos. Em contas feitas no computador, pequenas diferenças também podem surgir da representação numérica.
Decimais, frações e medidas de volume
Quando numerador e denominador permitem uma conta exata, trabalhe com a fração: ∛(1/8) = 1/2, pois (1/2)³ = 1/8. Da mesma forma, 0,008 = 8/1.000, então ∛0,008 = 0,2.
Para um cubo de aresta positiva, volume = aresta³; portanto, a aresta é a raiz cúbica do volume. Preserve as unidades: um volume em centímetros cúbicos produz aresta em centímetros. Um radicando negativo é válido na álgebra real, mas não representa volume físico negativo de um recipiente.
Cuidados comuns
Dividir o radicando por três
O índice 3 indica a operação inversa de elevar ao cubo. ∛27 = 3, enquanto 27 ÷ 3 = 9; elevar 9 ao cubo não retorna 27.
Retirar pares em vez de trios
Na raiz cúbica são necessários três fatores iguais para retirar um fator. Agrupar de dois em dois é uma regra da raiz quadrada, não da cúbica.
Perder o sinal de um radicando negativo
∛(-64) = -4. A resposta 4 recompõe 64, com sinal contrário ao radicando.
Arredondar cedo ou declarar uma aproximação exata
Guarde casas adicionais até a última etapa. O fato de o cubo de uma resposta arredondada ficar próximo da entrada não transforma a aproximação em igualdade.
Perguntas frequentes
- Para um inteiro, fatore seu módulo em números primos e separe grupos de três fatores iguais. Retire um fator de cada trio e multiplique-os. O que não formar um trio permanece dentro da raiz; para valor decimal, aproxime comparando cubos.
- É zero, pois 0 × 0 × 0 = 0. Não é necessário fatorar zero para chegar ao resultado.
- No conjunto dos números reais há uma única resposta, e ela é negativa. Por exemplo, ∛(-27) = -3; o número 3 elevado ao cubo produz 27, não -27.
- Eleve-a ao cubo e compare com a entrada, considerando a precisão necessária ao problema. Para garantir um arredondamento, mantenha a raiz entre limites suficientemente próximos e verifique de que lado do ponto médio ela está.
- Na convenção de potências racionais reais, sim: a^(1/3) representa a raiz cúbica real de a. Em alguns programas, a potência decimal aproximada ou a convenção complexa pode tratar entradas negativas de outra forma; a definição real é sempre x³ = a.
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