Por que zero fatorial é igual a 1?
Entenda o valor de 0! pela recorrência do fatorial, pela contagem de possibilidades e pelo produto vazio.
Explicação
Zero fatorial é igual a 1 porque essa definição preserva a relação n! = n × (n − 1)! e corresponde à única maneira de organizar zero elementos: a organização vazia. Aplicando a relação em n = 1, temos 1! = 1 × 0!; como 1! vale 1, resulta 0! = 1. Não se trata de multiplicar por zero, mas de definir o caso inicial do fatorial.
Pontos-chave
- A notação 0! significa zero fatorial; o ponto de exclamação indica uma operação.
- A recorrência n! = n × (n − 1)! é aplicada a inteiros n maiores ou iguais a 1.
- Em contagem, uma possibilidade vazia ainda é uma possibilidade.
- Um produto sem fatores tem valor 1, o elemento neutro da multiplicação.
Entenda melhor
A recorrência explica o caso inicial
Para um inteiro positivo, o fatorial multiplica os inteiros de 1 até esse número: 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Separando o primeiro fator, obtemos n! = n × (n − 1)!. Em n = 1, isso dá 1! = 1 × 0!. Como 1! = 1, a igualdade exige 0! = 1. Essa extensão mantém a mesma regra no ponto de partida. Não se deve substituir n = 0 nessa recorrência: isso exigiria (−1)!, que não pertence ao fatorial clássico dos inteiros não negativos.
Como pode existir uma organização de zero elementos?
O fatorial conta as ordenações de elementos distintos. Duas letras A e B têm duas ordens: AB e BA. Uma letra A tem uma única ordem: A. Sem nenhuma letra, existe uma única lista possível: a lista vazia. O número de itens nessa lista é zero, mas o número de listas possíveis é um. A mesma ideia aparece ao escolher nenhum item de um grupo: há uma só escolha que não seleciona item algum.
Produto vazio e fórmulas de combinação
Em 0!, não há inteiros positivos de 1 até 0 a multiplicar. Por isso ele é um produto vazio, cujo valor é 1. Esse valor permite acrescentar ou retirar um bloco sem fatores sem mudar uma multiplicação. Nas combinações, escolher zero elementos entre três pode ser escrito como C(3, 0) = 3! ÷ (0! × 3!) = 6 ÷ (1 × 6) = 1. Se 0! fosse zero, essa expressão teria divisão por zero e não representaria a única escolha vazia.
Na prática
Zero multiplicado e zero fatorial são diferentes
Em 0 × 5, há um fator igual a zero e o resultado é zero. Em 0!, não há um fator zero: há um produto sem fatores, definido como 1.
O início da sequência
Para n = 0, 1, 2, 3 e 4, os valores de n! são, respectivamente, 1, 1, 2, 6 e 24. Dois valores iniciais iguais não contradizem a recorrência.
Perguntas frequentes
- É uma definição coerente com a recorrência e com a interpretação combinatória do fatorial. Ela permite usar as mesmas fórmulas também nos casos em que não se escolhe ou não se organiza nenhum elemento.
- 1! é o produto com um único fator, 1. Já 0! é o produto sem fatores, também igual a 1. Na recorrência, passar de 0! para 1! multiplica por 1 e mantém o valor.
- Não. O fatorial clássico é definido para inteiros não negativos. A igualdade 0! = 1 não estabelece valores para (−1)!, (−2)! ou outros inteiros negativos.
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